Проезд до Барнаула или Новосибирска
Самое дорогое и длительное — необходимо добраться до Барнаула или Новосибирска (или Бийска, в крайнем случае).
Лучший вариант — Барнаул, поскольку от него не так далеко до места назначения, как от Новосибирска (а стоимость билетов практически одинаковая), до него можно добраться самолетом (в отличие от Бийска), и там всегда можно найти много маршруток.

Самолетом
От Москвы до Барнаула можно лететь следующими авиакомпаниями: Аэрофлот, S7 (Сибирь), и Красноярские авиалинии (до Новосибирска — Аэрофлот, S7, Трансаэро). Самая дешевая — Аэрофлот (билет стоит в районе 13.000 со всеми сборами).
Если вам нет 25 или вы являетесь студентом или аспирантом, то можно купить молодежный билет (например, в Стартревел www.startravel.ru или ТурИнфо www.tgt.ru), что дешевле примерно в 1,5 раза.
Можно также ловить спецпредложения и распродажи, но в сезон это, естественно, проблемно. Очень важно купить билет заранее (за месяц как минимум) — иначе придется переплачивать вдвое. Время полета — 4 с небольшим часа.

Аэропорт в Барнауле (расписание и общая информация).
Аэропорт в Новосибирске (расписание и общая информация).

Поздом
Если вам ближе поезд, то опять-таки, лучше ехать до Барнаула (единственный плюс Бийска — наличие продуктового рынка в непосредственной близости от вокзала, но по деньгам и времени вы ничего не выигрываете, кроме того придется провести в Барнауле 4 часа (вагоны перецепляют)).
Сэкономить на поезде удастся, только если вы поедете плацкартом (от Москвы в районе 2.000 в одну сторону в зависимости от поезда), время в пути — примерно 2,5 суток.

Проезд от Барнаула или Новосибирска до Чемала или Улагана
До Чемала проще, поскольку и от Барнаула и от Новосибирска до него ходят прямые автобусы. В Барнауле, кроме того, всегда есть много маршруток. Если все-таки вдруг (что очень маловероятно) ничего не оказалось, можно доехать до Горно-Алтайска, а оттуда уже до Чемала (так же на автобусе или маршрутке).
Автовокзал в Барнауле находится рядом с железнодорожным вокзалом, маршрутки стоят на привокзальной площади.
Стоимость проезда до Чемала порядка 400 рублей на автобусе и 500 рублей на маршрутке (багаж — 100/150 рублей). С водителями маршруток можно торговаться, если просят больше.
Время в пути: на автобусе примерно 6 часов, на маршрутке — 5 часов.

Автовокзал в Новосибирске находится на приличном расстоянии от железнодорожного вокзала. Билеты на автобус до Чемала продаются не в здании автовокзала, а на улице в билетной палатке (так сказать, во внутреннем дворе автовокзала).
Стоимость примерно 700 рублей, багаж — 100 рублей.
Время в пути — около 10 часов.

Возможные схемы путей можно свести к следующим:
Барнаул — Чемал (автобусом или маршруткой) — идеальный вариант.
Барнаул — Горно-Алтайск — Чемал (автобусом или маршруткой).
Барнаул — Бийск — Чемал (автобусом или маршруткой) — совсем крайний случай.

Новосибирск — Чемал (автобусом, постоянных маршруток нет) — идеальный вариант.
Новосибирск — Горно-Алтайск (автобус) — Чемал (автобусом или маршруткой).
Новосибирск — Барнаул (поездом, автобусом или маршруткой) — Чемал.

Добраться до Улагана немного сложнее, поскольку прямых автобусов и маршруток от Барнаула и Новосибирска до него нет.
Придется сначала ехать до Горно-Алтайска таким путем:
Барнаул — Горно-Алтайск — Улаган Новосибирск — Горно-Алтайск — Улаган.

Расписание Барнаульского автовокзала.
Расписание Бийского автовокзала.
Расписание Горно-Алтайского автовокзала.
Расписание Новосибирского автовокзала.